Question

已知點C為拋物線y²=2px（p＞0）的準線與x軸的交點，點F為焦點，點A、B是拋物線上的兩個點．若

.

FA

+

.

FB

+2

.

FC

=

.

0

，則向量

.

FA

與

.

FB

的夾角為（　　）

• A．

  2

  3

  π
• B．

  3

  4

  π
• C．

  5π

  6

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：設出點A，B的坐標，利用點A、B是拋物線上的兩個點，

.

FA

+

.

FB

+2

.

FC

=

.

0

，可求

.

FA

=(p，

3

p)，

.

FB

=(p，-

3

p)，再利用向量的夾角公式，即可得出結論．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），拋物線y²=2px（p＞0）的準線與x軸的交點C（-

p

2

，0），焦點F（

p

2

，0）
∵

.

FA

+

.

FB

+2

.

FC

=

.

0

，
∴(x1-

p

2

，y1)+(x2-

p

2

，y2)+（-2p，0）=（0，0）
∴x₁+x₂=3p，y₁+y₂=0
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）
∴y₁²=y₂²=3p²，x₁=x₂=

3

2

p
∴

.

FA

=(p，

3

p)，

.

FB

=(p，-

3

p)
設向量

.

FA

與

.

FB

的夾角為α，則cosα=

. FA • FB

| . FA || FB |

=

p2-3p2

4p2

=-

1

2

∵α∈[0，π]
∴α=

2

3

π
故選A．

點評：本題考查向量知識的運用，考查向量的夾角公式，解題的關鍵是確定向量

.

FA

與

.

FB

的坐標．