Question

乒乓球比賽規則規定：一局比賽，對方比分在10平前，一方連續發球2次后，對方再連續發球兩次，依次輪換．每次發球，勝方得1分，負方得0分．設在甲、乙的比賽中，每次發球，發球方得1分的概率為0.6，各次發球的勝負結果相互獨立．甲、乙的一局比賽中，甲先發球．
（1）求開始第4次發球時，甲、乙的比分為1：2的概率；
（2）求開始第5次發球時，甲領先得分的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記A_i表示事件：第1次和第2次這兩次發球，甲共得i分，i=0，1，2，B_i表示事件：第3次和第4次這兩次發球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次發球，甲得1分，B表示事件：開始第4次發球時，甲、乙的比分為1比2，C表示事件：開始第5次發球時，甲得分領先．B=A0•A+A1•

.

A

，由此能求出開始第4次發球時，甲、乙的比分為1：2的概率．
（Ⅱ）P(B0)=0.62=0.36，P（B₁）=2×0.4×0.6=0.48，P(B2)=0.42=0.16，P(A2)=0.62=0.36，由C=A₁•B₂+A₂•B₁+A₂•B₂，能求出開始第5次發球時，甲領先得分的概率．

解答：解：（Ⅰ）記A_i表示事件：第1次和第2次這兩次發球，甲共得i分，i=0，1，2，
B_i表示事件：第3次和第4次這兩次發球，甲共得i分，i=0，1，2，
A表示事件：第3次發球，甲得1分，
B表示事件：開始第4次發球時，甲、乙的比分為1比2，
C表示事件：開始第5次發球時，甲得分領先．
∴B=A0•A+A1•

.

A

，
P（A）=0.4，P（A₀）=0.4²=0.16，
P（A₁）=2×0.6×0.4=0.48，
P（B）=P(A0•A+A1•

.

A

)
=P（A₀•A）+P（A1•

.

A

）
=P(A0)P(A)+P(A1)P(

.

A

)
=0.16×0.4+0.48×（1-0.4）
=0.352．
答：開始第4次發球時，甲、乙的比分為1：2的概率是0.352．
（Ⅱ）P(B0)=0.62=0.36，
P（B₁）=2×0.4×0.6=0.48，
P(B2)=0.42=0.16，
P(A2)=0.62=0.36，
∵C=A₁•B₂+A₂•B₁+A₂•B₂，
∴P（C）=P（A₁•B₂+A₂B₁+A₂•B₂）
=P（A₁•B₂）+P（A₂•B₁）+P（A₂•B₂）
=P（A₁）P（B）+P（A₂）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）
=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16
=0.3072．
答：開始第5次發球時，甲領先得分的概率是0.3072．

點評：本題考查事件的概率的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意n次獨立重復試驗的性質和公式的靈活運用．