Question

如圖，直角△ABC中，∠A=30°，∠B為直角，BC=1，D，E分別是AC，AB上的動點，且
DE∥BC，現將△ADE沿DE翻折，使得平面A'DE⊥平面BCDE，當DE運動時，四棱錐A'-BCDE體積的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題意設出AE=x，求出ED，然后求出四棱錐A'-BCDE體積的表達式，利用函數的導數求出函數的最大值即可．

解答：解：設AE=x，x∈（0，

3

），所以ED=

3 x

3

，所以四棱錐A'-BCDE體積：V=

1

3

x(

3

2

-

1

2

×

3

3

x2)=

3

6

x-

3

18

x3，
所以V′=

3

6

-

3

6

x2，令V′=0，解得x=1，x∈（0，1）函數單調遞增，x∈[1，

3

）導數小于0，函數單調遞減，所以x=1時，四棱錐A'-BCDE體積取得最大值，就是

3

6

-

3

18

=

3

9

；
故答案為：

3

9

．

點評：本題是中檔題，考查棱錐的體積的求法，利用導數求解函數的最大值的方法，考查計算能力，空間想象能力．