Question

（2012•湖北模擬）已知函數f（x）=e^x-ax-2．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若a=1，m為整數，且x＞0時，不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0恒成立，求m的最大值．（可能用到的參數考數據：e=2.718，e²=7.389，e³=20.086）

Answer 1

分析：（1）對f（x）進行求導，令f′（x）=0，求出極值點，利用導數研究函數的單調性；
（2）把a=1代入f（x），因為不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0，可得（m+1-x）（e^x-1）+m-2-2x＜0，再利用分離變量法進行求解；

解答：解：（1）函數f（x）=e^x-ax-2，
f′（x）=e^x-a，若a≤0，則f′（x）＞0，
f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，
若a＞0，則x∈（-∞，lna）時，f′（x）＞0；
當x∈（lna，+∞）上單調遞減，在（-∞，lna）上單調遞增，
（2）a=1，m為整數，且x＞0時，不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0恒成立，
可得（m+1-x）（e^x-1）+m-2-2x＜0，分離變量得，m＜x-1+

x+3

ex

令g（x）=x-1+

x+3

ex

，x∈（0，+∞），
g′（x）=

ex-x-2

ex

，
令g（x）=x-1+

x+3

ex

，x∈（0，+∞），g′（x）=

ex-x-2

ex

，
令h（x）=e^x-x-2，x∈（0，+∞），
由（1）可知h（x）在（0，+∞）上單調遞減，
又h（1）=e-3＜0，h（

3

2

）=e²-

7

2

＞0，
∴必存在x₀∈（1，

3

2

），使h（x₀）=0，
當x∈（0，x₀）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
當x∈（x₀，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）為單調遞減，
∴g（x）_min=g（x₀）=x₀-1+

x0+3

ex0

，
∵x₀是方程e^x-x-2=0的根，
∴e^x=x₀+2，
∴g（x）_min=x₀-1+

x0+3

ex0

=x₀-1+

x0+3

x0+2

=

x 2 0 +4x0+3

(x0+2)2

，
令m（x₀）=

x 2 0 +2x0+1

x0+2

，x₀∈（1，

3

2

），m′（x₀）=

x 2 0 +4x0+3

(x0+2)2

＞0
∴m（x₀）在（1，

3

2

）上單調遞減，
∴m（x₀）∈（

4

3

，

25

14

），即g（x）_max∈（

4

3

，

25

14

），
∴m的最大值為1．

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性及其應用，解題的過程中用到常數分離法進行求解，是一道中檔題；