Question

已知雙曲線C：

x2

4

-y2=1和定點P(2，

1

2

)．
（1）求過點P且與雙曲線C只有一個公共點的直線方程；
（2）雙曲線C上是否存在A，B兩點，使得

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)成立？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）當斜率不存在時，x=2符合題意，
當斜率存在時，設直線方程為y-

1

2

=k（x-2），即y=kx-2k+

1

2

代入雙曲線方程，消元可得（4k²-1）x²-k（16k-4）x+（16k²-8k+5）=0
當4k²-1=0，即k=±

1

2

時，方程有唯一解，滿足題意，此時直線方程為：x-2y-1=0，x+2y-3=0
當4k²-1≠0，即k≠±

1

2

時，令△=0，可得k=

5

8

，此時直線方程為：5x-8y-6=0
故過點P且與雙曲線C只有一個公共點的直線方程為x-2y-1=0，x+2y-3=0，5x-8y-6=0，x=2
（2）設存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點符合題意，
∵

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，∴P(2，

1

2

)為中點，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=1
同（1）知x₁，x₂是方程（4k²-1）x²-k（16k-4）x+（16k²-8k+5）=0的兩根，
∴x1+x2=

k(16k-4)

4k2-1

，
∴

k(16k-4)

4k2-1

=4，
∴k=1
此時方程為3x²-12x+13=0，△＜0，故k=1不符合題意，所以符合題意的直線AB不存在．