Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）判斷函數在區間上零點的個數；

（Ⅱ）設函數在區間上的極值點從小到大分別為．證明：

（i）；

（ii）對一切成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）兩個；（Ⅱ）（i）詳見解析；（ii）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）分別在、和三段區間內利用導數求得函數的單調性，結合零點存在定理確定零點個數；

（Ⅱ）（i）根據（Ⅰ）中結論可知，，化簡為，根據單調性可證得結論；

（ii）由（i）的方法可證得，分別在為奇數和為偶數兩種情況下，采取分組求和的方式，相鄰兩項配對，即可證得結論.

（Ⅰ），

當時，，，，無零點；

當時，，，單調遞減，

又，，有唯一零點；

當時，，，

又，，有唯一零點；

綜上所述：在有兩個零點．

（Ⅱ）（i），

由（Ⅰ）知：在無極值點；在有極小值點，即為，在有極大值點即為，

又，，，，

可知，，

同理在有極小值點，…，在有極值點．

由得：，，

，，，

而，，故有，

在是增函數，，

即；

（ii）由（i）知：，，

，

由在遞增得：，

當為偶數時，不妨設，從開始相鄰兩項配對，每組和均為負值，

即，結論成立；

當為奇數時，設，

，，

從開始相鄰兩項配對，每組和均為負值，還多出最后一項也是負值，

即，結論也成立．

綜上，對一切，成立．