Question

已知f（x）=x²+（a-3）x+a．
（1）對于?x∈R，f（x）＞0總成立，求a的取值范圍；
（2）當x∈（-1，2）時f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對于?x∈R，f（x）＞0總成立，等價于△=（a-3）²-4a＜0，即可求得a的取值范圍；
（2）當x∈（-1，2）時f（x）＞0恒成立，等價于x²+（a-3）x+a＞0對x∈（-1，2）恒成立，即a（x+1）＞3x-x²，進一步可轉化為a＞

3x-x2

x+1

=-（x+1）-

4

x+1

+5，利用基本不等式，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵對于?x∈R，f（x）＞0總成立，
∴△=（a-3）²-4a＜0，解得1＜a＜9；
（2）當x∈（-1，2）時f（x）＞0恒成立，等價于x²+（a-3）x+a＞0對x∈（-1，2）恒成立，即a（x+1）＞3x-x²，
∵x∈（-1，2），∴x+1∈（0，3）
∴a＞

3x-x2

x+1

=-（x+1）-

4

x+1

+5
∵x+1∈（0，3）時，（x+1）+

4

x+1

的最小值為4
∴a＞-4+5=1
即a＞1．

點評：本題考查恒成立問題，考查分離參數法的運用，考查基本不等式求最值，屬于中檔題．