Question

19．將函數(shù)f（x）=xsinx，當(dāng)${x_1}，{x_2}∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$時，f（x₁）＞f（x₂）成立，下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＞|x₂|
• C． x₁＜x₂
• D． x${\;}_{1}^{2}$＞x${\;}_{2}^{2}$

Answer 1

分析 由于f（-x）=f（x），故函數(shù)f（x）=xsinx為偶函數(shù)，則f（x₁）＞f（x₂）?f（|x₁|）＞f（|x₂|），f′（x）=sinx+xcosx，當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，從而可得答案．

解答 解：∵f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），
∴函數(shù)f（x）=xsinx為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（|x|）；
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴當(dāng)$\frac{π}{2}$＞x＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）=xsinx在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增．
∵f（x₁）＞f（x₂），結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），
∴|x₁|＞|x₂|，
∴x₁²＞x₂²，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)f（x）=xsinx的奇偶性與單調(diào)性，得到f（x）為偶函數(shù)，在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增是關(guān)鍵，考查分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．