Question

【題目】設是由個有序實數構成的一個數組，記作：.其中稱為數組的“元”，稱為的下標，如果數組中的每個“元”都是來自數組中不同下標的“元”，則稱為的子數組.定義兩個數組，的關系數為.

（1）若，，設是的含有兩個“元”的子數組，求的最大值；

（2）若，，且，為的含有三個“元”的子數組，求的最大值；

（3）若數組中的“元”滿足，設數組含有四個“元”，且，求與的所有含有三個“元”的子數組的關系數（）的最大值.

Answer 1

【答案】（1）2（2）1（3）

【解析】

（1）根據題中“元”的定義，列出所有的含有兩個“元”的子數組，當取到時，取到最大值；

（2）需要進行分類討論，分為中含0和不含0這個“元”兩種具體情況進行分類討論，再結合不等式性質進行合理放縮即可求得最值；

（3）可以借鑒（2）中解題方法，分為和兩種情況，再結合基本不等式性質經行求解即可

（1）由題，列出所有符合題意的子數組：，，，，

，，由定義，，計算可得，當時，；

（2）由，可知，實數具有對稱性，故分為中含0和不含0這個“元”兩種具體情況進行分類討論；

①當0是中的“元”時，由于中的三個“元”都相等及中三個“元”的對稱性，可只計算的最大值，，

由可得，

故當時達到最大值，故；

②當不是中的“元”時，

又，根據同向可加性可得

，即，則

，當且僅當時，取到最大值，故；

綜上所述，；

（3）解法和（2）接近，，，根據及

的對稱性，分為和兩種情況進行求解；

當時，為了保證不等式的等價性，需對做變形處理，得

，此時

，當且僅當時等號成立；

；

當時，，此時，

綜上所述，