Question

（本小題滿分12分）
已知函數f(x)="log" _a (a>0且a≠1)的圖像關于原點對稱
（1）求m的值；  
（2）判斷函數f(x)在區間（1，+∞）上的單調性并加以證明；
（3）當a>1，x∈(t,a)時, f(x)的值域是（1，+∞），求a與t的值。

Answer 1

解：（1）由已知f(-x)="-f(x)" 即log_a+log_a="0        " ………………………….1分
∴（1-mx）(1+mx)="(x+1)(1-x)     " 1-m²x²=1-x²                ∴m=1    …………….3分
當m=1時，=-1＜0 舍去    ∴ m=-1                                ……………….4分
（2）由（1）得f(x)=log_a 任取1＜x₁＜x₂
f(x₂)- f(x₁)= log_a- log_a= log_a   
∵1＜x₁＜x₂ ∴(x₂+1)(x₁-1)-(x₂-1)(x₁+1)=2(x₁-x₂) ∴0＜＜1
當a∈（0,1）時 log_a＞0，∴f(x₂) ＞ f(x₁),此時f(x)為增函數…7
當a∈（1，+∞）時 log_a＜0，∴f(x₂)＜ f(x₁) 此時為減函數。.8分            
（3）有（2）知：當a＞1時，f(x)在（1，+∞）為減函數
由＞0有x＜-1或x＞1∴(t,a) （1，+∞）        …………………………..9分
即f(x)在(t,a)上遞減，∴f(a)="1," ∴a=1+，且→+∞，∴t="1" ……………12分
 

略