Question

（I）若干個棱長為2、3、5的長方體，依相同方向拼成棱長為90的正方體，則正方體的一條對角線貫穿的小長方體的個數是
A．64　　　 B．66　　 C．68　　　 D．70
（II）圓C：x²+y²-24x-28y-36=0內有一點Q（4，2），過點Q作直角AQB交圓于A，B，則動弦AB中點的軌跡方程．

Answer 1

解：（I）由2、3、5的最小公倍數為30，由2、3、5組成的棱長為30的正方體的一條對角線穿過的長方體為整數個，
所以由2、3、5組成棱長為90的正方體的一條對角線穿過的小長方體的個數應為3的倍數，考察四個選項，僅有B符合要求，
故選B
（II）設出線段AB的中點坐標為（x，y）
由題意各2x=x_A+x_B，2y=y_A+y_B
∴4x²=（x_A+x_B）²
4y²=（y_A+y_B ）²
又x²+y²-24x-28y-36=0
∴（x_A）²+（y_A）²-24x_A-28y_A-36=0
（x_B）²+（y_B）²-24x_B-28y_B-36=0
以上兩式相加得[（x_A）²+（y_A）²-24x_A-28y_A-36]+[（x_B）²+（y_B）²-24x_B-28y_B-36]=0
∴（x_A）²+（x_B）²+（y_A）²+（y_B）²-24×（x_A+x_B）-28×（y_A+y_B）-72=0
∴（x_A+x_B）²-2x_A×x_B+（y_A+y_B）²-2y_A×y_B-24×2x-28×2y-72=0
∴4x²+4y²-48x-56y-72=2（x_A×x_B+y_A×y_B）
又PA⊥PB
∴[（y_A-2）/（x_A-4）]×[（y_B-2）/（x_B-4）]=-1
∴（x_A-4）×（x_B-4）+（y_A-2）×（y_B-2）=0
∴x_A×x_B+y_A×y_B=4（x_A+x_B）+2（y_A+y_B）-20
∴x_A×x_B+y_A×y_B=4×2x+2×2y-20
∴16x+8y-40=2（x_A×x_B+y_A×y_B）
∴4x²+4y²-48x-56y-72=16x+8y-40
整理得x²+y²-16x-16y-8=0
即AB中點Q的軌跡方程是園：（x-8）²+（y-8）²=136（位于圓內）．
分析：（I）由2、3、5的最小公倍數為30，由2、3、5組成的棱長為30的正方體的一條對角線穿過的長方體為整數個，所以由2、3、5組成棱長為90的正方體的一條對角線穿過的小長方體的個數應為3的倍數，由此規律選出正確選項；
（II）設出線段AB的中點坐標為（x，y），可得2x=x_A+x_B，2y=y_A+y_B，將A，B兩點的坐標代入圓的方程，兩式相加整理得出4x²+4y²-48x-56y-72=2（x_A×x_B+y_A×y_B），再由PA⊥PB 得出16x+8y-40=2（x_A×x_B+y_A×y_B）兩式聯立即可得到AB中點Q的軌跡方程
點評：本題考查軌跡方程的求法，解題的關鍵是將題設中位置關系轉化成方程，整理出軌跡方程來，本題在解題過程中用到了恒等變形，代換等技巧，綜合性較強．本題是近幾年高考中的常見題型，就注意總結它的求解規律，此類題的解題規律大體都是如此，本題全是符號運算，運算量較大，解題時要注意變形的嚴謹性防止變形出錯，導致解題失敗．