Question

已知函數f（x）=x²-2x．
（Ⅰ）指出函數f（x）值域和單調減區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在（0，0）點處的切線方程；
（Ⅲ）求f（x-1）＞0的解集．

Answer 1

分析：（I）根據二次函數的圖象與性質，可以求出函數f（x）的值域和單調區間；
（II）求出函數的導函數，把x=0代入導函數求出的函數值即為切線方程的斜率，把x=0代入函數解析式中得到切點的縱坐標，進而確定出切點坐標，根據求出的斜率和切點坐標寫出切線方程即可．
（III）先利用函數f（x）的解析式化簡不等式f（x-1）＞0，最后結合二次不等式的解法求解即得．

解答：解：（Ⅰ）畫出函數f（x）=x²-2x的圖象，如圖，是一拋物線，頂點坐標為（1，-1），對稱軸是x=1，開口向上，得：
f（x）值域是[-1，+∞）；f（x）單調減區間（-∞，-1）．…（4分）
（Ⅱ）因為 f′（x）=2x-2，
所以 f′（0）=-2．
所以 y-0=-2（x-0）
所以 f（x）在（0，0）點處的切線方程y=-2x．…（8分）
（Ⅲ）因為 f（x-1）=（x-1）²-2（x-1）=（x-1）（x-3）
所以 f（x-1）＞0的解集就是（x-1）（x-3）＞0的解集．
解得：{x|x＜1或x＞3}．f（x-1）＞0的解集{x|x＜1或x＞3}．…（12分）

點評：此題考查二次函數的性質，考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道基礎題．