Question

已知復數z=a+bi，滿足，z²的實部為3，且z在復平面內對應的點位于第一象限．
（1）求z、和z+2；
（2）設z、、z+2在復平面內對應點分別為A、B、C，試判斷△ABC的形狀，并求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得 a²-b²=3，a²+b²=5，a＞0，b＞0．解得a、b的值，即可求得z、和z+2．
（2）由（1）可得點A、B、C的坐標，可得 和的坐標，求得 ＜0，可得∠ABC為鈍角，故三角形ABC為鈍角三角形．
△ABC中，由余弦定理求得cos∠ABC=-，可得sin∠ABC=，再由△ABC的面積為 |BA|•|BC|•sin∠ABC 運算求得結果．
解答：解：（1）由題意可得 a²-b²=3，a²+b²=5，a＞0，b＞0．
解得 ，∴z=2+i，=2-i，z+2=（2+i）+2（2-i）=6-3i．
（2）由（1）可得點A（2，1）、點B（2，-1）、點C（6，-3），∴=（0，2）、=（4，-2），
∴=0-4=-4＜0，∴∠ABC為鈍角，故三角形ABC為鈍角三角形．
△ABC中，由于|AB|=2，|AC|==4，|BC|==2，由余弦定理可得 32=4+20-2×2×2×cos∠ABC，
解得cos∠ABC=-，∴sin∠ABC=，∴△ABC的面積為 |BA|•|BC|•sin∠ABC=8．
點評：本題主要考查兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位i的冪運算性質，復數的代數表示及其幾何意義，復數與復平面內對應點之間的關系，余弦定理的應用，屬于基礎題．