Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+2的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），如果f′（x）為偶函數(shù)，則一定有（　　）

A．a(chǎn)≠0，c=0

B．a(chǎn)=0，c≠0

C．b=0

D．b=0，c=0

Answer 1

分析：先求導(dǎo)數(shù)f′（x），由f′（x）為偶函數(shù)可知f'（x）=f'（-x），故2bx=0恒成立，所以b=0，由此得出答案．

解答：解：函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+2的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函數(shù)f′（x）=3ax²+2bx+c是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f'（x）=f'（-x），即3ax²+2bx+c=3ax²-2bx+c，
∴2bx=0恒成立，b=0．
故選C．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運算、函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)的解析式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．