Question

對(duì)于任意的n∈N^*，若數(shù)列{a_n}同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱數(shù)列{a_n}具有“性質(zhì)m”：
①；          
②存在實(shí)數(shù)M，使得a_n≤M成立．
（1）數(shù)列{a_n}、{b_n}中，a_n=n、（n=1，2，3，4，5），判斷{a_n}、{b_n}是否具有“性質(zhì)m”；
（2）若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且，，求證：數(shù)列{S_n}具有“性質(zhì)m”；
（3）數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式（n∈N^*）．對(duì)于任意n∈[3，100]且n∈N^*，數(shù)列{d_n}具有“性質(zhì)m”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在數(shù)列{a_n}中，令n=1可驗(yàn)證不滿足條件①；在數(shù)列{b_n}中，按“性質(zhì)m”的定義驗(yàn)證條件①②即可；
（2）將代入S₃=可求得q，從而求得c_n，S_n，利用放縮法可驗(yàn)證數(shù)列{S_n}滿足及S_n＜2；
（3）寫(xiě)出d_n+1，d_n+2，數(shù)列{d_n}具有“性質(zhì)m”，由條件①得d_n+d_n+2＜2d_n+1恒成立，代入后化簡(jiǎn)分離出t，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題可得t的范圍，在該范圍下可判斷數(shù)列{d_n}為遞增數(shù)列，從而可知{d_n}最大項(xiàng)的值為d₁₀₀，由此知存在M滿足條件②，從而得知t的范圍；
解答：（1）解：在數(shù)列{a_n}中，取n=1，則，不滿足條件①，
所以數(shù)列{a_n}不具有“m性質(zhì)”；
在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，，b₃=2，，b₅=1，
則，，，所以滿足條件①；
（n=1，2，3，4，5）滿足條件②，
所以數(shù)列{b_n}具有“性質(zhì)m”．
（2）證明：由于數(shù)列{c_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比q＞0，
將代入S₃=，得6q²-q-1=0，解得或（舍去），
所以c₁=1，，，
對(duì)于任意的n∈N^*，，且S_n＜2，
所以數(shù)列{S_n}滿足條件①和②，所以數(shù)列{S_n}具有“m性質(zhì)”；
（3）由于d_n=，則，，
由于任意n∈[3，100]且n∈N^*，數(shù)列{d_n}具有“性質(zhì)m”，所以d_n+d_n+2＜2d_n+1，
即，
化簡(jiǎn)得，t（n-2）＞1，即對(duì)于任意n∈[3，100]且n∈N^*恒成立，
所以t＞1①，
=，
由于n∈[3，100]及①，
所以d_n+1＞d_n，即n∈[3，100]時(shí)，數(shù)列{d_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
所以{d_n}最大項(xiàng)的值為，
滿足條件②只需即可，所以這樣的M存在②，
所以t＞1即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決新問(wèn)題的能力，考查學(xué)生對(duì)題目的閱讀理解能力，對(duì)能力要求較高．