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精英家教網如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,D、E分別為BB1、AC1的中點.
(I)證明:ED為異面直線BB1與AC1的公垂線;
(II)設AA1=AC=
2
AB
,求二面角A1-AD-C1的大小.
分析:(Ⅰ)設O為AC中點,連接EO,BO,欲證ED為異面直線AC1與BB1的公垂線,只需證明ED與直線AC1與BB1都垂直且相交,根據線面垂直的性質可知ED⊥CC1,而ED⊥BB1,即可證得;
(Ⅱ)連接A1E,作EF⊥AD,垂足為F,連接A1F,根據二面角的平面角定義可知∠A1FE為二面角A1-AD-C1的平面角,在三角形A1FE中求出此角即可.
解答:解:(Ⅰ)設O為AC中點,連接EO,BO,則EO
.
1
2
C1C,又C1C
.
B1B,所以EO
.
DB,EOBD為平行四邊形,ED∥OB.(2分)精英家教網
∵AB=BC,
∴BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1,BO?面ABC,
故BO⊥平面ACC1A1,
∴ED⊥平面ACC1A1,ED⊥AC1,ED⊥CC1,
∴ED⊥BB1,ED為異面直線AC1與BB1的公垂線.(6分)
(Ⅱ)連接A1E,由AA1=AC=
2
AB可知,A1ACC1為正方形,
∴A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和ED?平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1,
∴A1E⊥平面ADC1
作EF⊥AD,垂足為F,連接A1F,則A1F⊥AD,∠A1FE為二面角A1-AD-C1的平面角.
不妨設AA1=2,則AC=2,AB=
2
,ED=OB=1,EF=
AE×ED
AD
=
2
3
,
tan∠A1FE=
3
,
∴∠A1FE=60°.
所以二面角A1-AD-C1為60°.(12分)
點評:本題主要考查了異面直線公垂線的證明,二面角的度量,以及空間想象能力和推理能力,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

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科目:高中數學 來源:2011年高考試題數學理(四川卷)解析版 題型:解答題

 (本小題共l2分)

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

 

 

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科目:高中數學 來源:四川省高考真題 題型:解答題

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA。
(I)求證:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離

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科目:高中數學 來源: 題型:

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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