Question

下面是關于圓錐曲線的四個命題：
①拋物線y²=2px的準線方程為y=-

p

2

；
②設A、B為兩個定點，a為正常數，若

|PA|

+

|PB|

=2a，則動點P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④平面內與定點A（5，0）的距離和定直線l：x=

16

5

的距離之比為

5

4

的點的軌跡方程為

x2

16

-

y2

9

=1．其中所有真命題的序號為

③④

．

Answer 1

分析：對于①利用拋物線的標準形式即可得到其準線方程．對于②利用橢圓的定義即可進行判斷；對于③結合橢圓和雙曲線的離心率的取值范圍即可求解；對于④，利用動點P到定點A（5，0）的距離與到定直線x=

16

5

的距離的比是

5

4

可得方程，化簡由此能求出軌跡M的方程．

解答：解：①拋物線y²=2px的準線方程為x=-

p

2

；故①錯；
②根據橢圓的定義，只有當P到兩定點A、B距離之和大于|AB|即2a＞|

PA

|+|

PB

|時，動點P的軌跡為橢圓．②假命題
③方程2x²-5x+2=0的兩根是x=

1

2

＜1，可作為橢圓的離心率；x=2＞1可雙曲線的離心率．③真命題
對于④，由題意，設P（x，y），則

(x-5)2+y2

(x- 16 5 )2

=

25

16

，化簡得軌跡方程是 

x2

16

-

y2

9

=1，正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查了橢圓、雙曲線的定義標準方程、簡單的幾何性質等基礎知識，考查軌跡方程的求法，屬于基礎題．