Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1，點E為AB的中點．求點E到平面A₁DC₁的距離．

Answer 1

分析：以D為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，可得D、E、A₁、C₁各點的坐標，從而算出的坐標

DA1

、

DC1

、

DE

的坐標，利用垂直的向量數量積為零的方法算出

n

=(-1，-

1

2

，1)是平面DA₁C₁的一個法向量，再利用點到平面的距離公式，即可算出點E到平面A₁DC₁的距離．

解答：解：以D為坐標原點，DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸，
建立如圖所示空間直角坐標系，可得E（1，1，0），
A₁（1，0，1），C₁（0，2，1）．
從而

DA1

=(1，0，1)，

DC1

=(0，2，1)，

DE

=(1，1，0)
設平面DA₁C₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n • DA1 =0 n • DC1 =0

，得

x+z=0 2y+z=0

．
令x=1，得

n

=(-1，-

1

2

，1)，
∴點E到平面A₁DC₁的距離為d=

| n • DE |

| n |

=

|-1×1+(- 1 2 )×1+1×0|

(-1)2+(- 1 2 )2+12

=1．

點評：本題給出長方體的長、寬、高，求一條棱的中點到經過頂點截面的距離．著重考查了長方體的性質、點到平面垂直的求法等知識，屬于中檔題．