Question

已知直線l的方程為3x+4y-12=0，求滿足下列條件的直線l′的方程．
（1）l′與l平行且過點（-1，3）；
（2）l′與l垂直且l′與兩坐標軸圍成的三角形面積為4；
（3）l′是l繞原點旋轉180°而得到的直線．

Answer 1

分析：（1）根據平行直線的斜率相等，先求出斜率，點斜式求得直線方程．
（2）根據垂直關系求出直線的額斜率，得到它在坐標軸上的截距，根據與兩坐標軸圍成的三角形面積為4 求出截距，
即得直線方程．
（3）利用l′是l繞原點旋轉180°而得到的直線，l′與l關于原點對稱，故把直線l方程中的 x換成-x，
y換成-y，即得l′的方程．

解答：解：（1）直線l：3x+4y-12=0，k_l=-

3

4

，又∵l′∥l，∴k_l′=k_l =-

3

4

．
∴直線l′：y=-

3

4

（x+1）+3，即 3x+4y-9=0．
（2）∵l′⊥l，∴l′的 k_l′=

4

3

． 設l′在y軸上截距為b，則l′的方程為 y=

4

3

x+b，故它在x軸上截距為-

3

4

 b，
由題意可知，S=

1

2

|b|•|-

3

4

b|=4，∴b=±

4

3

6

．
∴直線l′：y=

4

3

x+

4

3

6

，或 y=

4

3

x-

4

3

6

．
（3）∵l′是l繞原點旋轉180°而得到的直線，∴l′與l關于原點對稱．
在l上任取點（x₀，y₀），則在l′上對稱點為（x，y）．
x=-x₀，y=-y₀，則-3x-4y-12=0．
∴l′為  3x+4y+12=0．

點評：本題考查兩直線平行和垂直的性質，兩平行直線的斜率相等，兩垂直直線的斜率之積等于-1，
以及關于原點對稱的直線方程的求法．