Question

已知橢圓E：（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），離心率為，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面積為，設斜率為k的直線過點F，且與橢圓E相交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若 ≤•≤，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵離心率為，∴a=2c，b=c．
∵△ABF的面積為，
∴，∴c=1
∴a=2，∴
∴橢圓E的方程為；
（Ⅱ）斜率為k的直線過點F，設方程為y=k（x-1）與聯立，消元可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=，
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=
∴=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=
∵≤•≤，∴≤≤
∴
∴或
∴k的取值范圍是．
分析：（Ⅰ）根據橢圓離心率為，可得a=2c，b=c，利用△ABF的面積為，可求c=1，從而可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設方程為y=k（x-1）與聯立，消元可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韋達定理，求出•，利用 ≤•≤，即可求得k的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，直線與橢圓聯立，利用韋達定理是解題的關鍵．