Question

已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都與以點A(

2

，0) 為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個定點A₁ 與點A關于直線y=x對稱，求雙曲線C的標準方程

 

．

Answer 1

分析：設雙曲線的漸近線為y=kx，則可求得圓心到直線的距離求得k，進而求得點A的關于直線y=x的對稱點，求得雙曲線的a和b，雙曲線方程可得．

解答：解：設雙曲線的漸近線為y=kx，即kx-y=0，
依題意知：

| 2 k|

k2+1

=1，則k=±1，
所以漸近線為y=±x
∵A₁ 與點A關于直線y=x對稱
∴A₁ 的坐標為(0，

2

)
設所求雙曲線的方程為x²-y²=λ（λ≠0）
代入A₁ (0，

2

)，得λ=-2
所以所求雙曲線的方程為

y2

2

-

x2

2

=1．

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．圓錐曲線與直線的關系歷來是高考的熱點，應加強復習．