Question

已知在4支不同編號(hào)的槍中有3支已經(jīng)試射校正過，1支未經(jīng)試射校正．某射手若使用其中校正過的槍，每射擊一次擊中目標(biāo)的概率為；若使用其中未校正的槍，每射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，假定每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響．
（I）若該射手用這3支已經(jīng)試射校正過的槍各射擊一次，求目標(biāo)被擊中的次數(shù)為奇數(shù)的概率；
（II）若該射手用這4支搶各射擊一次，設(shè)目標(biāo)被擊中的次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式求出目標(biāo)被擊中的次數(shù)為1與3的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率進(jìn)行求解即可；
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3，4，然后利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率分別求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可．
解答：解：（I）記“該射手用這3支已經(jīng)試射校正過的槍各射擊一次，目標(biāo)被擊中的次數(shù)為i”為事件A_i（i=0，1，2，3），且彼此互斥；記“該射手用這3支已經(jīng)試射校正過的槍各射擊一次，目標(biāo)被擊中的次數(shù)為奇數(shù)”為事件B．
∵P（A₁）==，P（A₃）==
∴P（B）=P（A₁）+P（A₃）=+=
答：目標(biāo)被擊中的次數(shù)為奇數(shù)的概率為．
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3，4
∵P（ξ=0）==
P（ξ=1）=+=
P（ξ=2）=+=
P（ξ=3）=+=
P（ξ=4）==
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P

∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=
答：隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，以及離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．