Question

已知對任意正整數n，滿足f_n+1（x）=f_n′（x），且f₁（x）=sinx，則f₂₀₁₃（x）=（　　）

A．sinx

B．-sinx

C．cosx

D．-cosx

Answer 1

分析：依次求出前幾個函數的導函數，由此可以看出f_n（x）呈周期出現，且4為周期，則答案可求．

解答：解：由f₁（x）=sinx，得f2(x)=f1′(x)=(sinx)′=cosx．
f3(x)=f2′(x)=(cosx)′=-sinx．
f4(x)=f3′(x)=(-sinx)′=-cosx．
f5(x)=f4′(x)=(-cosx)′=sinx．
…
由上可知，f_n（x）呈周期出現，且4為周期．
由2013=4×503+1
所以f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=sinx．
故選A．

點評：本題考查了導數的運算，考查了基本初等函數的導數公式，考查了函數周期的運用，是基礎題．