Question

有關(guān)方程3^x+4^x=5^x的根的情況的四種說法中，正確的是

1. A.
   只有一個有理數(shù)根
2. B.
   只有一個無理數(shù)根
3. C.
   共有兩個實數(shù)根
4. D.
   沒有實數(shù)根

Answer 1

A
分析：由于3，4，5是一組勾股數(shù)，能得到一個解x=2．設(shè)函數(shù)f（x）=3^x+4^x-5^x，f（x）=0當(dāng)且僅當(dāng)g（x）=1+（）^x-（）^x=0．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能推導(dǎo)出f（x）實根唯一．
解答：由于3，4，5是一組勾股數(shù)，能得到一個解x=2．
設(shè)函數(shù)f（x）=3^x+4^x-5^x，
f（x）=0當(dāng)且僅當(dāng)g（x）=1+（）^x-（）^x=0時成立．
對g（x）求導(dǎo)
g'（x）=ln（）•（）^x-ln（）•（）^x，
對g'（x）作類似處理，令h（x）=ln（）•（）^x-ln（）•（）^x，
則g'（x）=0當(dāng)且僅當(dāng)h（x）=0成立，且h（x）與g'（x）都是單調(diào)遞增函數(shù)．
∵h（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，∴h（x）=0有唯一解．
∵g'（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，∴g'（x）＞0，
∴g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，∴g（x）實根唯一．
所以f（x）實根唯一．
故選A．
點評：本題考查方程的根的情況的判斷，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．