Question

已知(x2-

1

5 x3

)5的展開式中的常數(shù)項為T，f（x）是以T為周期的偶函數(shù)，且當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先求出展開式中的常數(shù)項T，求得函數(shù)的周期是2，由于g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，即函數(shù)f（x）與r（x）=kx+k有四個交點，根據(jù)兩個函數(shù)的圖象特征轉(zhuǎn)化出等價條件，得到關(guān)于k的不等式，求解易得．

解答：解：∵(x2-

1

5 x3

)5的常數(shù)項為

C

2 5

×

1

5

=2
∴f（x）是以2為周期的偶函數(shù)
∵區(qū)間[-1，3]是兩個周期
∴區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個零點可轉(zhuǎn)化為f（x）與r（x）=kx+k有四個交點
當k=0時，兩函數(shù)圖象只有兩個交點，不合題意
當k≠0時，∵r（-1）=0，兩函數(shù)圖象有四個交點，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤

1

4

故答案為：(0，

1

4

]

點評：本題考點二項式定理，主要考查依據(jù)題設條件靈活轉(zhuǎn)化的能力，如g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，即函數(shù)f（x）與r（x）=kx+k有四個交點，靈活轉(zhuǎn)化是正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．