Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

3

．
（1）求證：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）求A₁B₁與平面AB₁C₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC中算出AC=

AB2-BC2

=

3

，而矩形AA₁C₁C中AC=

3

，得到四邊形AA₁C₁C為正方形，從而AC₁⊥A₁C．再由線面垂直的判定與性質，證出B₁C₁⊥A₁C．由B₁C₁、AC₁是平面AB₁C₁內(nèi)的相交直線，得A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）設AC₁、A₁C的交點為O，連結B₁O．由（1）A₁C⊥平面AB₁C₁，得∠A₁B₁O就是A₁B₁與平面AB₁C₁所成的角，在Rt△A₁B₁C₁中，算出A₁0和A₁B₁的長，利用三角函數(shù)的定義算出sin∠A₁B₁O=

6

6

，即可得出A₁B₁與平面AB₁C₁所成的角的正弦值．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=

AB2-BC2

=

3

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC
∴CC₁⊥AC，得四邊形AA₁C₁C為矩形，
∵AA₁=AC=

3

，可得四邊形AA₁C₁C為正方形
∴AC₁⊥A₁C，
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥C₁C，且A₁C₁∩C₁C=C₁，
∴B₁C₁⊥平面AA₁C₁C，
∵A₁C?平面AA₁C₁C，∴B₁C₁⊥A₁C
∵B₁C₁、AC₁是平面AB₁C₁內(nèi)的相交直線，∴A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）設AC₁、A₁C的交點為O，連結B₁O
∵A₁C⊥平面AB₁C₁，即A₁0⊥平面AB₁C₁，∴∠A₁B₁O就是A₁B₁與平面AB₁C₁所成的角
∵正方形AA₁C₁C的邊長AC=

3

，∴A₁0=

2

2

AC=

6

2

∵Rt△A₁B₁C₁中，A₁B₁=AB=3，
∴sin∠A₁B₁O=

A1O

A1B1

=

6

6

，即A₁B₁與平面AB₁C₁所成的角的正弦值等于

6

6

．

點評：本題在特殊三棱柱中證明線面垂直，并求直線與平面所成角大小．著重考查了線面垂直判定定理、直線與平面所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．