Question

【題目】已知函數，其中為實常數．

（Ⅰ）判斷的奇偶性；

（Ⅱ）若對任意，使不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，為偶函數；當時，為非奇非偶函數；（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）易求得函數的定義域為，是關于原點對稱的.當時，易得所以為偶函數；當時，因為，所以不是奇函數；因為所以，故不是偶函數．故當時，為非奇非偶函數.

（Ⅱ）對任意，使不等式恒成立等價于“對任意，使不等式恒成立”，設，即，分類討論去絕對值，再求函數的最大值即可.

試題解析：（Ⅰ）易求得函數的定義域為，是關于原點對稱的.

當時，

所以為偶函數；

當時，因為，所以不是奇函數；

因為所以，

故不是偶函數. 綜合得為非奇非偶函數.

綜上所述，當時，為偶函數；當時，為非奇非偶函數.

（Ⅱ）（1）當時，不等式化為即，

若，即，則矛盾．

若，即，則即解得或所以

（2）當時，不等式化為即，

若即，結合條件，得

若即，即解得或結合條件及（1），得

若，恒成立. 綜合得

（3）當時，不等式化為即，得即．結合（2）得

所以，使不等式對恒成立的的取值范圍是