Question

圓M的方程為x²+y²-4Rxcosα-4Rysinα+3R²=0(R＞0).

(1)求該圓圓心M的坐標(biāo)以及圓M的半徑;

(2)當(dāng)R固定,α變化時,求圓心M的軌跡,并證明此時不論α取什么值,所有的圓M都外切于一個定圓.

Answer 1

思路分析:本題中所給的圓方程中的變數(shù)有多個,此時要結(jié)合題意分清究竟是哪個真正在變,而像這樣的具體題目尤其容易犯弄不清真正的參數(shù)的錯誤.

解:(1)由題意得圓M的方程為(x-2Rcosα)²+(y-2Rsinα)²=R²,故圓心為M(2Rcosα,2Rsinα),半徑為R.

(2)當(dāng)α變化時,圓心M的軌跡方程為(其中α為參數(shù)),兩式平方相加得x²+y²=4R²,所以圓心M的軌跡是圓心在原點,半徑為2R的圓.

由于=2R=3R-R,=2R=R+R,

    所以所有的圓M都和定圓x²+y²=R²外切,和定圓x²+y²=9R²內(nèi)切.