Question

購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費a元，若投保人在購買保險的一年度內出險，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內至少支付賠償金10 000元的概率為1-0.999¹⁰⁴．
（Ⅰ）求一投保人在一年度內出險的概率p；
（Ⅱ）設保險公司開辦該項險種業務除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）．

Answer 1

分析：（1）由題意知各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，記投保的10000人中出險的人數為ξ，由題意知ξ服從二項分布一投保人在一年度內出險的對立事件是沒有一個人出險．
（2）寫出本險種的收入和支出，表示出它的盈利期望，根據為保證盈利的期望不小于0，列出不等式，解出每位投保人應交納的最低保費．

解答：解：由題意知
各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，
記投保的10000人中出險的人數為ξ，
由題意知ξ～B（10⁴，p）．
（Ⅰ）記A表示事件：保險公司為該險種至少支付10000元賠償金，
則

.

A

發生當且僅當ξ=0，
P(A)=1-P(

.

A

)=1-P（ξ=0）=1-（1-p）¹⁰⁴，
又P（A）=1-0.999¹⁰⁴，
故p=0.001．
（Ⅱ）該險種總收入為10000a元，支出是賠償金總額與成本的和．
支出10000ξ+50000，
盈利η=10000a-（10000ξ+50000），
盈利的期望為Eη=10000a-10000Eξ-50000，
由ξ～B（10⁴，10^-3）知，
Eξ=10000×10^-3，
Eη=10⁴a-10⁴Eξ-5×10⁴=10⁴a-10⁴×10⁴×10^-3-5×10⁴．
Eη≥0?10⁴a-10⁴×10-5×10⁴≥0?a-10-5≥0?a≥15（元）．
∴每位投保人應交納的最低保費為15元．

點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．