Question

已知等差數列{a_n}的公差不為零，且a₃=5，a₁，a₂，a₅成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足 b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=an，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據a₁，a₂，a₅成等比數列建立關于a₁與d的等式，以及a₃=5，可求出a₁與d的值；
（2）由b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=an可得當n≥2時，b1+2b2+22b3+…+2n-2bn-1=an-1，兩式作差即可求出數列{b_n}的通項，注意考慮n=1時的情況，最后根據等比數列的求和公式進行求解即可．

解答：解：（1）由a₃=5，得a₁+2d=5；由a₁，a₂，a₅成等比數列，得a1(a1+4d)=(a1+d)2，
其中d≠0，解得a₁=1，d=2，所以，a_n=2n-1．
（2）由b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=an，①
當n=1時，b₁=a₁=1；
當n≥2時，b1+2b2+22b3+…+2n-2bn-1=an-1，②
①-②得 2^n-1b_n=a_n-a_n-1=2，得bn=22-n，所以，bn=

1，n=1 22-n，n≥2

當n=1時，S₁=b₁=1；
當n≥2時，Sn=1+1+

1

2

+

1

22

+

1

22-n

=3-2^2-n．
綜上，S_n=3-2^2-n．

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式，以及等比數列及其前n項和，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．