Question

【題目】已知矩形中，，E，F分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設P、Q分別為線段，的中點，連接.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1) 取中點R，連接，,可知中,且,由Q是中點,可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.

(2) 建立空間直角坐標系,求得半平面的法向量: ,然后利用空間向量的相關結論可求得二面角的余弦值.

（1）取中點R，連接，，

則在中，，且，

又Q是中點，所以，

而且，所以，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）在平面內作交于點G，以E為原點，，，分別為x，y，x軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則各點坐標為，，，

所以，，

設平面的一個法向量為，

則即，

取，得，

又平面的一個法向量為，

所以.

因此，二面角的余弦值為