Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABE，其中四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，且AB=2，點F、G分別是BC、AE的中點．
（Ⅰ）求三棱錐F-ABE的體積；
（Ⅱ）求證：BG∥平面EFD；
（Ⅲ）若點P在線段DE上運動，求證：BG⊥AP．

Answer 1

分析：（Ⅰ）說明BF是三棱錐F-ABE的高，求出底面ABE的面積，即可求出體積；
（Ⅱ）取DE中點M，連接MG、FM，要證BG∥平面EFD，只需證明平面EFD外的直線BG，平行平面EFD內的直線FM即可．
（Ⅲ）點P在線段DE上運動，證明BG垂直平面DAE內的兩條相交直線AD，AE，即可證明BG⊥平面DAE，從而證明BG⊥AP．

解答：解：（Ⅰ）因為平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，
因為G是等邊三角形ABE的邊AE的中點，所以BG⊥AE，（2分）
所以VF-ABE=

1

3

S△ABE•BF=

1

3

×

1

2

AE•BG•BF=

1

6

× 2×

3

×1 =

3

3

．
（Ⅱ）取DE中點M，連接MG、FM，
因為MG=

1

2

AD，BF=

1

2

AD，所以MG=BF，
四邊形FBGM是平行四邊形，所以BG∥FM．（6分）
又因為FM?平面EFD，BG?平面EFD，
所以BG∥平面EFD．（8分）
（Ⅲ）因為DA⊥平面ABE，BG?平面ABE，所以DA⊥BG．（9分）
又BG⊥AE，AD∩AE=A，
所以BG⊥平面DAE，又AP?平面DAE，（11分）
所以BG⊥AP．（12分）

點評：本題主要考查直線與平面的位置關系，考查空間想像能力，推理論證能力和運算求解能力．