Question

（2012•江西模擬）已知函數f(x)=

ex-a

x

，g（x）=alnx+a．
（1）a=1時，求F（x）=f（x）-g（x）的單調區間；
（2）若x＞1時，函數y=f（x）的圖象總在函數y=g（x）的圖象的上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定函數F(x)=

ex-1

x

-lnx-1(x＞0)，求導函數，利用F'（x）≥0，確定函數的單調增區間；F'（x）≤0，確定函數的單調減區間；
（2）構造F（x）=f（x）-g（x）（x＞1），若x＞1時，函數y=f（x）的圖象總在函數y=g（x）的圖象的上方，即F（x）＞0恒成立，求出導函數F′(x)=

(x-1)(ex-a)

x2

．分類討論，確定函數的最小值，從而可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）a=1時，F(x)=

ex-1

x

-lnx-1(x＞0)，
則F′(x)=

xex-(ex-1)

x2

-

1

x

=

(x-1)(ex-1)

x2

…（3分）
令F'（x）≥0有：x≤0（舍去）或x≥1；令F'（x）≤0有0≤x≤1…（5分）
故F（x）的單增區間為[1，+∞）；單減區間為（0，1]．…（6分）
（2）構造F（x）=f（x）-g（x）（x＞1），即F(x)=

ex-a

x

-alnx-a(x＞1)
則F′(x)=

(x-1)(ex-a)

x2

．
①當a≤e時，e^x-a＞0成立，則x＞1時，F'（x）＞0，即F（x）在（1，+∞）上單增，…（7分）
令F（1）=e-a-a≥0，∴a≤

1

2

e，故a≤

1

2

e…（8分）
②a＞e時，F'（x）=0有x=1或x=lna＞1
令F'（x）≥0有x≤1或x≥lna；令F'（x）≤0有1≤x≤lna…（9分）
即F（x）在（1，lna]上單減；在[lna，+∞）上單增…（10分）
故F（x）_min=F（lna）=-aln（lna）-a＞0，∴a＜e

1

e

，舍去…（11分）
綜上所述，實數a的取值范圍a≤

1

2

e…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，解題的關鍵是構造函數，確定函數的最值．