Question

（2007•河東區一模）設數列{a_n}、{b_n}都是正項數列，且對于任意n∈N^*，都有a_n，b_n²，a_a+1成等差數列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數列．
（Ⅰ）求證：數列{b_n}是等差數列；
（Ⅱ）如果a₁=1，b₁=

2

，S_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，求S_n的表達式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得

2bn2=an+an+1 an+12=bn2bn+12

，由兩式消掉a_n，a_n+1可得數列{b_n}的遞推式，根據等差數列定義可判斷；
（Ⅱ）易求{b_n}的通項公式，進而可得{a_n}的通項公式，利用裂項相消法可求得S_n；

解答：（Ⅰ）證明：∵a_n＞0，b_n＞0，且

2bn2=an+an+1 an+12=bn2bn+12

，
由第二個式子可知：a_n+1=b_nb_n+1，所以當n≥2時，有a_n=b_n-1b_n，
代入第一個式子可得：2bn2=bn-1bn+bnbn+1，
所以2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2），
所以數列{b_n}是等差數列；
（Ⅱ）解：由a1=1，b1=

2

，可得a₂=3，b2=

3 2

2

，
∴bn=b1+(n-1)d=

2

2

(n+1)，an=

n(n+1)

2

（n∈N*），
所以Sn=

2

1•2

+

2

2•3

+…+

2

n(n+1)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

點評：本題考查等差數列的通項公式及裂項相消法對數列求和，考查學生的運算求解能力．