Question

已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁C與底面ABC所成的角為，AB＝BC＝，∠ABC＝，設E、F分別是AB、A₁C的中點．

(1)求證：BC⊥A₁E；

(2)求證：EF∥平面BCC₁B₁；

(3)求以EC為棱，B₁EC與BEC為面的二面角正切值．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：向量法 　　證法二：(Ⅰ)由已知有BC⊥AB，BC⊥B1B，∴BC⊥平面ABB1A1 　　又A1E在平面ABB1A1內　∴有BC⊥A1E 　　(Ⅱ)取B1C的中點D，連接FD、BD 　　∵F、D分別是AC1、B1C之中點，∴F 　　∴四邊形EFBD為平行四邊形　 　　又BD平面BCC1B1 　　∴EF∥面BCC1B1 　　(Ⅲ)過B1作B1H⊥CEFH，連BH，又B1B⊥面BAC，B1H⊥CE 　　∴BH⊥EC　∴∠B1HB為二面角B1－EC－B平面角 　　在Rt△BCE中有BE＝