Question

設f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

（1）求f（x）的表達式，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）試證明：函數f（x）的圖象上任意兩點的連線的斜率大于0；
（3）對于f（x），當x∈（-1，1）時，恒有f（1-m）+f（1-m²）＜0求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用換元法求函數的解析式，再根據函數的奇偶性的定義判斷函數f（x）為奇函數．
（2）分當a＞1時和 0＜a＜1時兩種情況，根據

a

a2-1

的符號以及a-x-

1

a-x

的單調性，判斷f（x）的單調性，從而得出結論．
（3）根據f（x）為奇函數，在（-1，1）上為增函數，可得-1＜1-m＜m²-1＜1，由此求得m的取值范圍．

解答：解：（1）令t=log_ax（ t∈R），可得 x=a^t，代入f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

 中，得 f（t）=

a

a2-1

（ at-

1

at

），
∴f（x）=

a

a2-1

 （ax-

1

ax

），
f（x）的定義域為R，關于原點對稱，且f（-x）=

a

a2-1

（ a-x-

1

a-x

）=-

a

a2-1

（a-x-

1

a-x

）=-f（x），故f（x）為奇函數．

（2）當a＞1時，

a

a2-1

＞0，ax-

1

ax

為增函數，故 f（x）=

a

a2-1

（ax-

1

ax

） 在R上是增函數．

當 0＜a＜1時，

a

a2-1

＜0，ax-

1

ax

為減函數，故 f（x）=

a

a2-1

（ax-

1

ax

） 在R上是增函數．

綜上，f（x）為增函數，由增函數的定義知：對任意x₁＜x₂，有 f（x₁）＜f（x₂），∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
故任意兩點的連線斜率都大于零．
（3）由（1）知f（x）為奇函數，由（2）知f（x）在（-1，1）上為增函數，
故有-1＜1-m＜m²-1＜1，解得 1＜m＜

2

，即m的取值范圍為（1，

2

）．

點評：本題主要考查用換元法求函數的解析式，函數的奇偶性和單調性的應用，直線的斜率公式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．