Question

以橢圓的右焦點為圓心作一個圓，使此圓過橢圓中心并交橢圓于點M，N，
若過橢圓左焦點的直線MF₁是圓的切線，則橢圓的離心率為                

Answer 1

本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查學生分析問題、解決問題的能力
由題意根據橢圓的定義和焦半徑和圓的半徑關系得：|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，然后利用過橢圓左焦點的直線MF₁是圓的切線，則利用垂直關系得到直角三角形MF₁F₂結合勾股定理得到，|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，即（2a-c）²+c²=4c^2，整理得2a²-2ac-c²=0，即e²+2e-2=0，解得e=。故答案為。
解決該試題的關鍵是先根據題意和橢圓定義可知|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|="2c" 進而根據勾股定理建立等式求得e。