Question

已知點F（0，），動圓P經過點F且和直線y=-相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（1）求曲線W的方程；
（2）四邊形ABCD是等腰梯形，A，B在直線y=1上，C，D在x軸上，四邊形ABCD 的三邊BC，CD，DA分別與曲線W切于P，Q，R，求等腰梯形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由動圓圓心P到F的距離等于P到y=的距離，知P點的軌跡是拋物線，由此能求出雙曲線W的方程．
（2）設P（x，y），由y=，，知BC方程：y-y₁=，令y=0，得出-=（x-x₁），解得x=，由梯形ABCD的面積S=，能求出等腰梯形ABCD的面積的最小值．
解答：解：（1）動圓圓心P到F的距離等于P到y=的距離，
則P點的軌跡是拋物線，
且p=2，所以x²=6y為雙曲線W的方程．
（2）設P（x，y），由y=，，知BC方程：y-y₁=，
令y=0，-=（x-x₁），x=，
即C（，0），
令y=1，1-=（x-x₁），
，
x=+x₁=，即B（，1），
所以梯形ABCD的面積S==
=
=
=2．
當且僅當2x₁=，即時，S有最小值2．
點評：本題考查曲線方程的求法，考查等腰梯形ABCD的面積的最小值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．