Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+3m，x∈[{0，+∞}）$，若f（x）+5≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． $[{\frac{17}{9}，+∞}）$
• B． $（{\frac{17}{9}，+∞}）$
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 要找m的取值使f（x）+5≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函數(shù)的最小值點(diǎn)，得到函數(shù)f（x）的最小值，即可求出m的取值范圍．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3m，所以f′（x）=x²-4x．
令f′（x）=0得x=0或x=4，
經(jīng)檢驗(yàn)知x=4是函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn)，所以函數(shù)的最小值為f（4）=3m-$\frac{32}{3}$．
不等式f（x）+5≥0恒成立，即3m-$\frac{32}{3}$+5≥0恒成立，
解得m≥$\frac{17}{9}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題等等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．