Question

在XOY平面上有一點列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，對每個自然數n，點P_n位于函數y=2000（）^x（0＜a＜10）的圖象上，且點P_n、點（n，0）與點（n+1，0）構成一個以P_n為頂點的等腰三角形.

（Ⅰ）求點P_n的縱坐標b_n的表達式；

（Ⅱ）若對每個自然數n，以b_n，b_n＋1，b_n＋2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍；

（Ⅲ）（理）設B_n＝b₁，b₂…b_n（n∈N）.若a取（Ⅱ）中確定的范圍內的最小整數，求數列｛B_n｝的最大項的項數.

（文）設c_n＝lg（b_n）（n∈N）.若a�。�Ⅱ）中確定的范圍內的最小整數，問數列｛c_n｝前多少項的和最大?試說明理由.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由題意，an＝n＋，∴bn＝2000（）． （Ⅱ）∵函數y=2000（）x（0＜a＜10）遞減， ∴對每個自然數n，有bn＞bn＋1＞bn＋2 則以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn＋2＋bn＋1＞bn， 即（）2＋（－1）＞0， 解得a＜－5（1＋）或a＞5（－1）， ∴5（－1）＜a＜10． （Ⅲ）（理）∵5（－1）＜a＜10， ∴a=7，bn＝2000（）． 數列｛bn｝是一個遞減的正數數列.對每個自然數n≥2，Bn＝bnBn－1． 于是當bn≥1時，Bn≥Bn－1，當bn＜1時，Bn＜Bn－1， 因此，數列｛Bn｝的最大項的項數n滿足不等式bn≥1且bn＋1＜1. 由bn＝2000（）≥1，得n≤20.8，∴n=20. （文）∵5（－1）＜a＜10，∴a=7，bn＝2000（）． 于是cn＝lg［2000（）］＝3＋lg2（n＋）lg0.7 數列｛cn｝是一個遞減的等差數列. 因此，當且僅當cn≥0，且cn＋1＜0時，數列｛cn｝的前n項的和最大. 由cn＝3＋lg2＋（n＋）lg0．7≥0， 得n≤20.8，∴n=20.