Question

正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)A、O重合) ，PE⊥PB交線(xiàn)段CD于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)E．

①判斷線(xiàn)段DF、EF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②寫(xiě)出線(xiàn)段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)O、C重合)，PE⊥PB交直線(xiàn)CD于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)E．判斷（1）中的結(jié)論①、②是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論并證明．

Answer 1

（1）①DF=EF ②PC－PA=CE
（2）結(jié)論①成立, 結(jié)論②不成立，

試題分析：（1）①DF=EF                                                     …1分
理由如下：連接PD，因?yàn)锳B=AD,AP=AP,∠BAP=∠DAP=45°,
所以,
所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010953656518.png" style="vertical-align:middle;" />,所以在四邊形中,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010953719883.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010953766575.png" style="vertical-align:middle;" />所以（等腰三角形底邊垂線(xiàn)即底邊平分線(xiàn)）.           …4分
②,同理,
所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010953859559.png" style="vertical-align:middle;" />所以                                       …7分
（2）結(jié)論①成立                                                           …8分
理由同（1）①即可；                                                       …9分
結(jié)論②不成立.                                                             …10分
相應(yīng)的結(jié)論為PA－PC=CE                                             …11分
證明同（1）②.                                                          … 12分
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，要靈活運(yùn)用平面幾何知識(shí)（平行、相似、全等等），要注意恰當(dāng)轉(zhuǎn)化.