Question

用0，1，2，3，4這五個數字可以組成多少個無重復數字的：

（1）銀行存折的四位密碼;

（2）四位數;

（3）四位奇數.

Answer 1

思路分析:（1）可以分步選取數字，作四位密碼的四個位置上的數字，且所取數字不能重復；（2）可以分步選取數字，分別做為千位數字、百位數字、十位數字和個位數字，且所取數字不能重復.與（1）的不同之處是千位數字不能為0；（3）四位奇數的個位只能是1或3，因此符合條件的四位奇數可以分為個位數字是1和個位數字是3的兩類，每一類中再分步.要注意千位數字不能取0，且所取數字不能重復.

解:（1）完成“組成無重復數字的四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個位置上的數字，有5種選取方法；第二步，選取左邊第二個位置上的數字，有4種選取方法；第三步，選取左邊第三個位置上的數字，有3種選取方法；第四步，選取左邊第四個位置上的數字，有2種選取方法.由分步乘法計數原理，可以組成不同的四位密碼共有N=5×4×3×2=120個.

（2）完成“組成無重復數字的四位數”這件事，可以分四步：第一步，從1,2，3,4中選取一個數字做千位數字，有4種不同的選取方法；第二步，從1,2，3，4中剩余的三個數字和0共四個數字中選取一個數字做百位數字，有4種不同的選取方法；第三步，從剩余的三個數字中選取一個做十位數字，有3種不同的選取方法；第四步，從剩余的兩個數字中選取一個數字做個位數字，有2種不同的選取方法.由分步乘法計數原理，可以組成不同的四位數共有N=4×4×3×2=96個.

（3）完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事，有兩類辦法：第一類辦法是四位奇數的個位取數字為1，這件事可分三個步驟完成：第一步，從2,3，4中選取一個數字做千位數字，有3種不同的選取方法；第二步，從2,3，4中剩余的兩個數字與0共三個數字中選取一個做百位數字，有3種不同的選取方法；第三步，從剩余的兩個數字中，選取一個數字做十位數字，有2種不同的選取方法.利用分步乘法計數原理，第一類中的四位奇數共有

N₁=3×3×2=18個.第二類辦法是四位奇數的個位取數字為3，這件事可分三個步驟完成.利用分步乘法計數原理，第二類中的四位奇數共有N₂=3×3×2=18個.

最后，由分類加法計數原理知，符合條件的四位奇數共有N=18＋18=36.

    方法歸納 如果完成一件事，可以有幾類辦法，這幾類辦法中的任一類辦法都能獨立的完成這件事，即方法是相互獨立且互斥的，此時應用分類計數原理.如果完成一件事，需分成幾個步驟進行，必須連續做完每個步驟才能完成這件事，且各個步驟是互相依存、缺一不可的，此時應用分步計數原理.