Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

已知橢圓的方程為，、和為的三個頂點.

（1）若點滿足，求點的坐標；

（2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）設點在橢圓內且不在軸上，如何構作過中點的直線，使得與橢圓的兩個交點、滿足？令，，點的坐標是（-8，-1），若橢圓上的點、滿足，求點、的坐標.

Answer 1

解析：(1) ；
(2) 由方程組，消y得方程，
因為直線交橢圓于、兩點，
所以D>0，即，
設C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點坐標為(x0,y0)，
則，
由方程組，消y得方程(k2-k1)x=p，
又因為，所以，
故E為CD的中點；
(3) 因為點P在橢圓Γ內且不在x軸上，所以點F在橢圓Γ內，可以求得直線OF的斜率k2，由知F為P1P2的中點，根據(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程．
，直線OF的斜率，直線l的斜率，
解方程組，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．