Question

已知定義在R上的偶函數f（x）對任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，則滿足f（2x-1）＜f（

1

3

）的x 取值范圍是

1

3

＜x＜

2

3

．

Answer 1

分析：根據偶函數的性質得，f（2x-1）＜f（

1

3

）?f（|2x-1|）＜f（

1

3

），由f（x）對任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0知：f（x）在[0，+∞）上單調遞增，據單調性即可去掉不等式中的符號“f”．轉化后解不等式即可求得所求的范圍

解答：解：因為f（x）為偶函數，
所以f（2x-1）＜f（

1

3

）?f（|2x-1|）＜f（

1

3

），
又由f（x）對任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0知，f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
所以|2x-1|＜

1

3

，解得

1

3

＜x＜

2

3

．
故答案為：

1

3

＜x＜

2

3

．

點評：本題考查函數奇偶性、單調性及其應用，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據條件判斷出函數的單調性，再由奇偶性把問題轉為到區間[0，+∞）上解決．