Question

已知F₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點，點P（1，

3

2

）是橢圓上的一個點，且|PF₁|+|PF₂|=4．求：過F₁的直線L₁與過F₂的直線L₂平行，分別交于A、B、C、D四個點，求S?ABCD的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：先根據題意求出橢圓E的標準方程，再利用平行四邊形的面積S_{平行四邊形ABCD}=4S_△OAB，設出直線AB的方程為x=my-1，由直線方程與橢圓方程組成方程組，利用弦長公式求出S_△OAB的最大值即可．

解答： 解：設橢圓E的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵|PF₁|+|PF₂|=4，∴2a=4，∴a=2，…（2分）
又∵點P（1，

3

2

）在橢圓上，
∴

1

4

+

9

4b2

=1，∴b=

3

，
橢圓E的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；如圖所示…（5分）
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴S_{平行四邊形ABCD}=4S_△OAB，
設直線AB的方程為x=my-1，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，…（6分）
S_△OAB=S△OF1A+SOF1B=

1

2

|OF₁||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|
=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=6

m2+1 (3m2+4)2

，…（9分）
令m²+1=t，則t≥1，S_△OAB=6

t (3t+1)2

=6

1 9t+6+ 1 t

，…（11分）
又∵g（t）=9t+

1

t

在[1，+∞）上單調遞增，
∴g（t）≥g（1）=10，∴S_△OAB的最大值為

3

2

；
∴S_{平行四邊形ABCD}的最大值為6．…（13分）

點評：本題考查了橢圓的定義域標準方程的應用問題，也考查了三角形面積的求法問題，解題時應靈活應用弦長公式，是中檔題．