Question

【題目】設a≥0，f（x）=x﹣1﹣ln2x+2alnx（x＞0）．
（1）令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內的單調性并求極值；
（2）求證：當x＞1時，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據求導法則有 ，

故F（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x＞0，

于是 ，

∴知F（x）在（0，2）內是減函數，在（2，+∞）內是增函數，

所以，在x=2處取得極小值F（2）=2﹣2ln2+2a．

（2）

證明：由a≥0知，F（x）的極小值F（2）=2﹣2ln2+2a＞0．

于是知，對一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．

從而當x＞0時，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內單調增加．

所以當x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0．

故當x＞1時，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．

【解析】（1）先根據求導法求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間及極值即可．（2）欲證x＞ln2x﹣2a ln x+1，即證x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0，也就是要證f（x）＞f（1），根據第一問的單調性即可證得．