【題目】一些選手參加數學競賽，其中有些選手互相認識，有些選手互相不認識，而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人．若
與
認識，但沒有共同的熟人，求證：、認識的熟人一樣多．
【答案】見解析
【解析】
用點表示人，兩人互相認識就在相應兩點間連一條線段，依題意
間有連線（如圖）．
由于
、
沒有共同的熟人，故凡認識的人就不認識，凡認識的人就不認識．
現設
，
，…，
與認識，
，
，…，
與認識，由于任一
與不認識，而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人，故
與有且僅有一個共同的熟人
．
反之，每一個
與有且僅有一個共同的熟人．
亦即每一必與某一有連線，每一也必與某一
有連線．
現設
與
認識，
與
認識，下面證明與不相同時，與也不相同．
若不然，與重合，則、與均有連線，從而互不認識的，共同認識3個人，，（如圖），與已知條件“恰有兩個共同的熟人”矛盾，可見，
．
同理，，不相同時，其對應的，也不相同，又得
．
從而
．這表明、認識的熟人一樣多．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸標準煤）的幾組對照數據.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）請畫出表中數據的散點圖；
（2）請根據表中提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程
；
（3）根據（2）求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗多少噸標準煤？
（附：
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點A(0，－2)，橢圓E： 
(a>b>0)的離心率為
，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為
，O為坐標原點.
(1)求E的方程；
(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求l的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了提高學生的身體素質，某校高一、高二兩個年級共
名學生同時參與了“我運動，我健康，我快樂”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動.為了了解學生的運動狀況，采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個年級的學生中分別抽取
名和
名學生進行測試.下表是高二年級的名學生的測試數據（單位：個/分鐘）：
學生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
跳繩個數 | 179 | 181 | 168 | 177 | 183 |
踢毽個數 | 85 | 78 | 79 | 72 | 80 |
（1）求高一、高二兩個年級各有多少人？
（2）設某學生跳繩
個/分鐘，踢毽
個/分鐘.當
，且
時，稱該學生為“運動達人”.
①從高二年級的學生中任選一人，試估計該學生為“運動達人”的概率；
②從高二年級抽出的上述名學生中，隨機抽取
人，求抽取的名學生中為“span>運動達人”的人數
的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】李莊村某社區電費收取有以下兩種方案供農戶選擇：
方案一：每戶每月收管理費2元，月用電不超過30度，每度0.4元，超過30度時，超過部分按每度0.5元.
方案二：不收管理費，每度0.48元.
（1）求方案一收費
元與用電量
（度）間的函數關系；
（2）小李家九月份按方案一交費34元，問小李家該月用電多少度？
（3）小李家月用電量在什么范圍時，選擇方案一比選擇方案二更好？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量
， 
，設函數
，且
的圖象過點
和點
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）將
的圖象向左平移
（
）個單位后得到函數
的圖象.若
的圖象上各最高點到點
的距離的最小值為1，求
的單調增區間.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】進入冬天，大氣流動性變差，容易形成霧握天氣，從而影響空氣質量．某城市環保部門試圖探究車流量與空氣質量的相關性，以確定是否對車輛實施限行．為此，環保部門采集到該城市過去一周內某時段車流量與空氣質量指數的數據如下表：
(1)根據表中周一到周五的數據，求y關于x的線性回歸方程。
(2)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2，則認為得到的線性回歸方程是可靠的．請根據周六和周日數據，判定所得的線性回歸方程是否可靠？
注：回歸方程
中斜率和截距最小二乘估計公式分別為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓W：
的焦距與橢圓Ω：
+y2＝1的短軸長相等，且W與Ω的長軸長相等，這兩個橢圓的在第一象限的交點為A，直線l經過Ω在y軸正半軸上的頂點B且與直線OA（O為坐標原點）垂直，l與Ω的另一個交點為C，l與W交于M，N兩點．
（1）求W的標準方程：
（2）求
．
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