Question

已知橢圓E：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)長軸長是短軸長的

3

倍，且經過點A(

3

3

，

2

)，直線x=t與橢圓E交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交，求實數t的取值范圍；
（3）設Q（x，y）是圓C上的動點，當t變化時，求x的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓長軸和短軸之間的關系，結合橢圓過定點A(

3

3

，

2

)，得到關于a，b的二元方程組，求解a，b后即可得到答案；
（2）把直線x=t與橢圓方程聯立，求出圓的半徑，利用圓心C到y軸的距離小于半徑求解t的取值范圍；
（3）直接由圓的方程解出x，利用放縮法去掉y，再運用三角函數換元，最后由三角函數的值域求最值．

解答：解：（1）依題意得：a：b=

3

，且橢圓經過點A(

3

3

，

2

)，
∴

1 3b2 + 2 a2 =1 a2=3b2

⇒a²=3，b²=1．
則橢圓E的方程為x2+

y2

3

=1；
（2）由題意知圓心C（t，0）（-1＜t＜1）．
由

x=t x2+ y2 3 =1

⇒y2=3(1-t2)，
∴圓C的半徑為r=

3(1-t2)

．
∵圓C與y軸相交，且圓心C到y軸的距離d=|t|，
∴|t|＜

3(1-t2)

?t2＜3(1-t2)?-

3

2

＜t＜

3

2

，
即實數t的取值范圍(-

3

2

，

3

2

)；
（3）圓C的方程為（x-t）²+y²=3（1-t²）．
∵點Q（x，y）在圓C上，∴x=t±

3(1-t2)-y2

．
∵t-

3(1-t2)-y2

≤t+

3(1-t2)-y2

，
故只需求x=t+

3(1-t2)-y2

的最大值．
x=t+

3(1-t2)-y2

≤t+

3(1-t2)

（y=0時，等號成立）．
設t=cosθ，θ∈（0，π），則t+

3(1-t2)

=cosθ+

3

sinθ=2sin(θ+

π

6

)，
當θ=

π

3

，即t=

1

2

，且y=0時，x取最大值2．

點評：本題考查了橢圓的標準方程、橢圓的簡單幾何性質，考查了直線和圓錐曲線的關系，解答（3）時運用換元法，體現了放縮思想方法，思維難度較大．該題屬高考試題中的壓軸題．