Question

在正三棱錐P-ABC（頂點在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，過A作與PB，PC分別交于D和E的截面，則截面△ADE的周長的最小值是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

Answer 1

【答案】分析：利用正三棱錐P-ABC的側面展開圖，即可將求△ADE的周長的最小值問題轉化為求展開圖中線段的長的問題，進而在三角形中利用解三角形的知識計算即可
解答：解：此正三棱錐的側面展開圖如圖：則△ADE的周長為AD+DE+EA′，由于兩點之間線段最短，
∴當D、E處于如圖位置時，截面△ADE的周長最小，即為AA′的長
設∠APB=α，過P作PO⊥AA′，則O為AA′中點，∠APO=，
在等腰三角形PAB中，sin==，cos=
∴cosα=1-2sin²=，sinα=2sin•cos=
∴sin=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×+×=
∴AA′=2AO=2AP×sin=16×=11
故選C
點評：本題考查了利用幾何體的側面展開圖求截面周長最值的方法，利用三角變換公式解三角形的技巧，空間問題轉化為平面問題的思想方法