Question

一個空間四邊形ABCD的四條邊及對角線AC的長均為，二面角D-AC-B的余弦值為，則下列論斷正確的是（ ）
A．空間四邊形ABCD的四個頂點在同一球面上且此球的表面積為3π
B．空間四邊形ABCD的四個頂點在同一球面上且此球的表面積為4π
C．空間四邊形ABCD的四個頂點在同一球上且此球的表面積為
D．不存在這樣的球使得空間四邊形ABCD的四個頂點在此球面上

Answer 1

【答案】分析：由題意，求出BD的長，然后判斷空間四邊形ABCD的四個頂點是否在同一球面上，求出球的表面積即可．
解答：解：如圖AC=AB=AD=BC=CD=，cos∠DEB=，
E為AC的中點，EB=ED=，
所以BD²=2BE²-2××BE^2
BD=
ABCD的幾何體為正四面體，有外接球，球的半徑為：
球的表面積為：3π
故選A
點評：本題是基礎題，考查二面角的求法，幾何體的外接球的判斷，以及外接球的表面積的求法，考查邏輯推理能力，計算能力，是好題．